Krigagem ordinária

O Kriging implementa a krigagem ordinária local. Para cada ponto a estimar, ele combina os valores amostrais próximos usando a correlação espacial descrita pelo semivariograma ajustado. Os pesos dão o melhor estimador linear não tendencioso (BLUE) sob esse modelo (Matheron, 1971; Cressie, 1993; Isaaks e Srivastava, 1989).

Formulação

Dados $n$ pontos amostrais com valores $z_1, \dots, z_n$ , a estimativa num ponto a estimar $x_0$ é uma soma ponderada

\hat{z}(x_0) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \, z_i

Os pesos $\lambda_i$ são escolhidos para que o estimador seja:

Não tendencioso: $\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = 1$ . Na krigagem ordinária, a média do processo é desconhecida, mas tratada como constante dentro da vizinhança local. Essa restrição dá conta dessa média desconhecida.
De variância mínima: entre todos os pesos que satisfazem a restrição de não tendenciosidade, os pesos escolhidos minimizam a variância de estimação $\operatorname{Var}[\hat{z}(x_0) - z(x_0)]$ . Essa variância é escrita em função da semivariância $\gamma(h)$ , que descreve o quão diferentes os valores tendem a ser a uma separação $h$ .

O sistema de krigagem

Minimizar a variância sujeita a uma restrição linear de igualdade é um problema de multiplicadores de Lagrange. Introduzindo o multiplicador $\mu$ para a restrição de não tendenciosidade e resolvendo as condições de otimalidade resultantes, chega-se a um sistema linear nos $n$ pesos mais $\mu$ :

\begin{bmatrix} \gamma(d_{11}) & \cdots & \gamma(d_{1n}) & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \gamma(d_{n1}) & \cdots & \gamma(d_{nn}) & 1 \\ 1 & \cdots & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \\ \mu \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma(d_{10}) \\ \vdots \\ \gamma(d_{n0}) \\ 1 \end{bmatrix}

em que $d_{ij}$ é a distância entre os pontos amostrais $i$ e $j$ , e $d_{i0}$ é a distância do ponto amostral $i$ ao ponto a estimar $x_0$ . A matriz $(n+1) \times (n+1)$ à esquerda é simétrica. A última linha e a última coluna (todas com 1 e um zero no canto) impõem $\sum \lambda_i = 1$ .

Resolver esse sistema dá os pesos de krigagem $\lambda_i$ e também a variância de krigagem, uma estimativa da incerteza em $x_0$ :

\sigma_K^2(x_0) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \, \gamma(d_{i0}) + \mu

O APbase não calcula nem devolve a variância de krigagem: o Kriging.interpolate devolve só as estimativas.

Diferente dos pesos fixos do IDW, que só decaem com a distância, a krigagem leva em conta a redundância entre pontos amostrais. Pontos agrupados carregam informação em parte redundante, então a krigagem lhes dá menos peso somado do que daria ao mesmo número de pontos espalhados em volta do ponto a estimar a distâncias parecidas.

Krigagem local

Resolver o sistema completo com todos os pontos amostrais ficaria caro à medida que o conjunto de dados cresce. Em vez disso, o Kriging monta e resolve o sistema para cada ponto a estimar usando só os max_neighbors pontos amostrais mais próximos dentro de radius, com o mesmo recurso de min_neighbors do IDW.

Fornecendo um semivariograma diretamente

model_values permite passar um modelo de semivariograma pré-calculado em vez de ajustar um a partir de x/y/z. Isso é útil quando várias execuções de interpolação devem compartilhar exatamente o mesmo modelo, como no apbase.cross_validate, que ajusta um semivariograma e o usa para o raio de busca compartilhado e para o modelo de krigagem.