Validação cruzada

O apbase.cross_validate é a etapa de seleção do modelo por trás do apbase.Map. Ele compara o IDW e a krigagem ordinária sobre os mesmos dados amostrais usando validação cruzada leave-one-out (LOO-CV). O apbase.Map então interpola com o método que obteve o menor RMSE (raiz do erro quadrático médio), conforme decidido por select_best_model (veja abaixo); em caso de empate, vence o IDW.

Procedimento leave-one-out

Para cada ponto amostral avaliado $x_i$ :

Retire temporariamente $x_i$ (e o seu valor $z_i$ ) do conjunto amostral.
Estime de novo um valor $\hat{z}_i$ na posição de $x_i$ usando só os $n - 1$ pontos restantes, com o método em avaliação (IDW ou krigagem).
Compare $\hat{z}_i$ com o valor verdadeiro $z_i$ que foi retirado.

Repetir isso para cada ponto avaliado gera os erros de predição $e_i = z_i - \hat{z}_i$ . Como cada ponto é predito sem o próprio valor, esses erros estimam o quão bem o método prediria uma observação nova, ainda não vista. O semivariograma, e com ele o modelo da krigagem e o raio de busca padrão, é ajustado uma vez com todos os pontos finitos e não é ajustado de novo para cada ponto retirado; só a busca de vizinhos deixa $x_i$ de fora.

Métricas de erro

Dados os $m$ pontos avaliados em que o método produziu uma predição finita, com $\bar{z}$ a média dos seus valores verdadeiros ( $R^2$ é NaN quando esses valores são todos iguais):

\mathrm{MAE} = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} \left| e_i \right| \qquad\qquad \mathrm{RMSE} = \sqrt{\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} e_i^{2}}

R^2 = 1 - \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{m} e_i^{2}} {\displaystyle\sum_{i=1}^{m} \left(z_i - \bar{z}\right)^{2}}

O RMSE penaliza erros individuais grandes mais do que o MAE (erro absoluto médio), o que ajuda a revelar um método que costuma acertar mas de vez em quando erra muito. O $R^2$ (coeficiente de determinação) expressa quanto da variância dos dados amostrais o método explica, em comparação com sempre prever a média.

Semivariograma e vizinhança compartilhados

Os dois métodos usam o mesmo raio de busca, o mesmo índice espacial e os mesmos vizinhos para cada ponto retirado. O raio vem do semivariograma que também é o modelo da krigagem, ajustado a todos os pontos finitos ou informado por model_values; um radius explícito o substitui. Por isso, as diferenças de MAE, RMSE e $R^2$ refletem o método de interpolação, e não uma diferença de configuração.

Tempo de execução limitado

Avaliar todos os pontos amostrais exige $n$ predições leave-one-out por método, cada uma com a sua busca de vizinhos e a sua solução local, o que pode sair caro em conjuntos de dados grandes. max_points limita o número de pontos testados. Se houver mais pontos finitos do que o limite, o APbase sorteia uma subamostra aleatória de tamanho max_points, usando seed quando informada. Isso mantém o tempo de execução limitado à medida que o conjunto de dados cresce.

Cokrigagem: três métodos numa passada

cross_validate_cokriging aplica o mesmo procedimento leave-one-out à cokrigagem colocalizada, ICM e LMC ao mesmo tempo. Só o valor primário é retirado, um ponto por vez. O modelo de corregionalização de cada método é ajustado uma vez com o conjunto de dados completo e mantido fixo durante todo o processo, do mesmo jeito que o modelo é usado na prática. Os três métodos compartilham um índice espacial primário e um raio, então os resultados continuam diretamente comparáveis. Um método cujo modelo não pode ser ajustado fica de fora em vez de interromper a comparação: o ICM ou o LMC, quando o ajuste é rejeitado por não ser semidefinido positivo ou por ser inválido. Uma variável secundária com poucas amostras pareadas com a primária (veja max_colocation_dist em Cokrigagem) impede os três métodos, já que cada um precisa da correlação dela com a primária, então a chamada gera um ValueError. Só é gerado um erro quando nenhum método pode ser ajustado.

Selecionando o melhor método

select_best_model é a etapa que o apbase.Map usa para escolher o método. Ela compara as métricas (o RMSE, por padrão) nas amostras em que todos os métodos candidatos produziram uma predição finita, e vence a menor; um empate entre IDW e krigagem fica com o IDW. Com o resultado de um cross_validate(...) simples, ela compara o IDW diretamente com a krigagem e devolve o tipo de resultado de dois métodos. Com qualquer mapeamento de dois ou mais métodos, como o cv.by_method da cokrigagem, ela primeiro identifica o vencedor e o segundo colocado pelas estimativas pontuais (um empate fica com o método listado primeiro) e depois usa um bootstrap pareado para esse par.

O bootstrap pareado estima se a vantagem do vencedor sobre o segundo colocado é provavelmente real, e não um efeito de quais pontos foram retirados. n_bootstrap reamostra essas amostras em comum, recalcula a diferença das métricas em cada reamostragem e define significant=True quando o intervalo de confiança resultante não inclui zero.